КУРСОВА РАБОТА

   Теми: 1. Четириъгълник вписан в окръжност

      2. Теорема на Талес

Изготвил:                                                    Проверил:

ТЕМА 1

ЧЕТИРИЪГЪЛНИК ВПИСАН В ОКРЪЖНОСТ

ЗАДАЧА 1                           Дадено: 
                                              

ЗАДАЧА 2

ЗАДАЧА 4

ABCD – четириъгълник вписан в окръжност
<ABC = 3 <ADC

Търсим : <ADC = ?

Решение:

Нека <ADC = x     => <ABC = 3x ,

но ABCD е вписан в окръжност => <ADC + <ABC = 
= 180 => x + 3x =180 , 4x = 180, x = 45 => <ADC = 45

Дадено:
  ABCD – четириъгълник вписан в окръжност
 <ACB = 45

Търсим:  <ADB = ?

Решение: 
   <ACB – вписан ъгъл => АB = 2<ACB = 2 x 45 = 
90
  AB = 90, но <ADB също е вписан ъгъл => AB = 
=2<ADB => <ADB = 1/2AB => <ADB = 1/2 x 90 = 
45,

ЗАДАЧА 5

ЗАДАЧА 6

Дадено:
ABCD – четириъгълник вписан в окръжност
AB = BC
AD = DC
<ABD = 70
 
Търсим: <A = ?, <B = ?, <C = ?, <D = ?

Решение:
OB – се явява ъглополовяща => <OBC = 70 => <B = 140
В триъгълник ABC  <CAB + <ACB + <ABC = 180    =>  
<CAB + <ACB = 180 – 140 =>  <CAB + <ACB = 40,
но AB = BC  =>  <CAB = <ACB = 20
<ABC + <ADC = 180 (ABCD – вписан в окръжност) => 
<ADC = 180- 140 = 40
AD = DC => <DCA = <DAC = (180 – 40) /2 = 140/2 = 70
<A = <DAC + <CAB = 70 + 20 = 90
<C = <DCA + <ACB = 70 + 20 = 90
<A = 90, <B = 140, <C = 90, <D = 40

Дадено:
ABCD – трапец вписан в окръжност
AB = d = 12 cm (d – диаметър)
AD = 6 cm

Търсим: <A = ?, <B = ?, <C = ?, <D = ?

Решение: 
AB = d   =>  триъгълник ABD – правоъгълен (<ADB = 90)
AB = d = 12 cm => AO = OB = 1/2AB = 6 cm  
AO и ОB ( радиуси )
AB = 12 cm,  AD = 6 cm  =>  AD = 1/2AB => <ABD = 30
В триъгълник ABD:  <DAB + <ABD + <ADB = 180
=> <DAB = 180 – (30 + 90) = 180 -120 = 60, <A = 60
<A + <C = 180 ( ABCD – вписан в окръжност) => <C = 180 
– 60 = 120, <C = 120
<C + <B =180 => <B = 180-120 = 60
<A = 60, <B = 60, <C = 120, <D = 120

ЗАДАЧА 7

ЗАДАЧА 8

Дадено:
MNQP – трапец вписан в окръжност
OR = 3 см
OZ = 2 см

Търсим: h = ?

Решение:
I случай: т.O – вътрешна за MNQP 
OZ _|_ MN, OR _|_ PQ, RZ = OR + OZ = 3+2 = 5 см
QB = PH = h, h _|_ MN => h = RZ = 5 см.

II случай: т.O – външна за MNQP
OZ _|_ MN, OR _|_ PQ, QB = PH = h, h_|_ MN, h = RZ, RZ = 3-2 =1 см

h = 5 см, h = 1 см

Дадено:
ABCD – трапец вписан в окръжност
AB || CD
CD = 4 cm
<DAB = 60, AB = 6 cm
Търсим: АD = ?, BC = ?

Решение: 
АBCD – трапец вписан в окръжност => AD = BC
Разглеждаме триъгълник ADH:  DH = h, DH_|_AB  =>  

<AHD = 90
<ADH = 180- (<DAH + <AHD) = 180- (60 + 90) = 180 – 150 = 
= 30, <ADH = 30  =>  AD = 2AH
AH = (AB – DC)/2 =  (6 – 4)/2 = 2/2 = 1 => AD = 2 x 1 = 2
AD = BC = 2 cm

Дадено:
ABCD – четириъгълник вписан в окръжност
A : B: C = 3 : 5 : 7

Търсим: <А = ?, <C = ?, <D = ?, <B = ?

Решение:
Нека <A = 3x, <B = 5x, <C = 7x
<A + <C = 180 ( ABCD – четириъгълник вписан в 
окръжност ) => 3x + 7x = 180, 10x = 180,  x = 18      =>

 <A= 3 x 18 = 54, <B = 5 x 18 = 90, <C = 7 x 18 = 126, 
<B + <D = 180 => <D = 180 – 90 = 90