Минно- геоложки университет

Геологопроучвателен факултет

Катедра „Основи на геостатистиката”

Р Е Ф Е Р А Т

Тема: Вариограми

Изготвил:Кирил Кирилов

 Проверил : доц.Бакърджиев

Специалност  ПГ  Курс I                                     

Подпис :

Фак.№ 101323  Група  б

•

ВАРИОГРАМИ

      Геостатистиката е специално разработена математическа теория от френски математик 
Жорж Матерон за нуждите на геологията и други раздели на естествените науки. Появява се 
през шестдесетте години на миналия век с фундаменталният труд на Жорж Матерон  теория 
на регионализираните променливи. Авторът е написал монографията след консултантска 
работа в златните мини на Южна Америка, където се е запознал с Даниел Криге ,който по 
това време е заемал длъжността главен геолог на най-големите находища на злато в света 
Уитуотърсранд (или просто Ранд. Преди това (1951-1957) Д. Криге е публикувал няколко 
статии,   в   които   излага   получени   от   собствения   му   опит   идеи   за   най-добрата   оценка, 
направена по данни от опробването на находището.
      Основна причина за намаляването на грешката, респективно повишаване на точността 
на   прогнозата   оценка   ,   Д.   Криге   вижда   в   създаването   на   качествено   нова   статическа 
методология, в които се взема в създаването на качеството нова статическа методология, в 
която да се използва информацията за пространствена оценката. Методология,  в основата 
си ползваща идеите на Д. Криге, Ж. Матерон кръщава на неговото име –метод на Критинг .
          В   този   аспект   геостатистическата   теория   е   клон   от   приложната   статистика   като 
математическо описание и анализ на т.нар. пространствени наблюдения. В последно време 
геостатистиката намира приложение  при изготвянето на топокарти, оценка на природни 
обеми   от   минерални   и   биоресурси.   Основно   средство   за   получаване   на   информация   за 
съдържания на химически елементи в предварително определени точки в земните недра е 
избраната мрежа на опробване.
         Изборът на мрежа зависи от предполагаемите размери, пространственото положение и 
морфология на изучавания обект в земните недра. Съвкупността от точките на опробване 
образуват   пространствена   дискретна   мрежа.   Очевидно   е,   че   поради   дискретността   на 
мрежата всички оценки (средни стойности на наблюдаваните признаци като дебелина на 
пластове, съдържания на полезни или вредни компоненти, картиране на признаци и пр. ) 
могат случайно да се отклоняват от оценяваните величини. Естествената причина за тези 
отклонения   е   неизбежното   интерполиране   на   наблюденията   (пробите)   между   възлите   на 
дискретната мрежа на опробване. В редки случаи се налага да се търсят оценки в области, 
които   се   намират   извън   дискретната   мрежа   –   екстраполиране   на   наблюденията   извън 
дискретната мрежа на опробване.
     Интерполационните и екстраполационните области, в които е необходимо да се извърши 
оценката, се нарича оценка по съседство и аналогия със съществуващите данни  във възлите 
на
дискретната   мрежа   .Тези   дадености   определят   възможната   причина   за   случайността   на 
грешката при интерполирането и екстраполирането като грешка на аналогията.
     В геостатистиката тези и аналогични площи и обеми се наричат блоковее издължен във 
вертикална посока    и обхваща две от показаните  проби. В геостатическата практика  не 
съществува   базова   методология   за   определяне   на   геометрията   и   размера   на   оценявания 
блок. Една от фундаменталните идеи на Ж. Матерон е да съвмести точковите) за точковите и 
за блоковите оценки. Естествено, размерът на блока може в определени случаи много силно 
да   влияе   върху   точността   на   оценката,   като   търсенето   на   оптимални   за   точността   на 
оценката   геометрични   параметри   на   блока   са,   в   повечето   от   случаите,   несъвместими   с 
изискванията на практиката.
     Върху размера на грешката на аналогията съвместно влияят четири фактора:
              1.Геометрическите   параметри   на   пространствената   дискретна   мрежа   като 
конфигурация, плътност и достъпно количество на наблюдения при оценката;
             2.ИЗбраният метод на опробване, както и избраната геометрия на пробата, тяхната 
ориентация в пространството и количеството взет материал за анализ;

       3.Пространствената променливост на оценяваните признаци;
       4. Избраният метод за оценка (изчислителна процедура),с помощта на която се оценяват 
средните стойности на признаците;
          От   изборите   по-горе   фактори,   обективно     влияеща   върху   оценката   е   само 
пространствената   променлива,   докато   останалите   фактори   са   субективни   и   зависят   от 
волята   на   изследователя.   Математическата   теория,   която   подпомага   изследователя   при 
оптимизирането на опробването, се нарича –планиране на експеримента. В настоящия курс 
тази теория няма да се излага, тъй като е част от учебния материал  на други  курсове.
          В   основата   на   всяка   приложна   математическа   теория   е   необходимо   да   стои 
математическият  модел  на  изследвания  обект,  в случая  – пространствената  променлива. 
Според   геостатистиката,   възможен   модел   е   представата,   че   изследваният   признак   като 
непрекъсната пространствена променлива u(xj,yj,zj), за която е известно само това , че в 
точките на опробване  Mj (j=1,2,…J) с координати (xj,yj,zj) променливата приема фиксирани 
стойности:

uj =u (xj,yj,zj)

Под u(x,y,z)  се разбира средната стойност на изследваната променлива (признак) в някаква 
малка   област  

υ

  с   център     в   точката   (x,y,z).   По-общ   вариант   на   модела   може   да   бъде 

модификация,  в  която са  известни   средните  стойности   на признака   в  пробите  с обем  V, 
различаващи се от 

υ

UJ = UV (xJ,y,zJ) = 1/V ∫V u (xJ+α, yJ+β, zJ+γ) dαd βdγ;

     Всички задачи на геостатистиката като приложна теория за оценка на пространствените 
променливи се свеждат до изискването да се оцени някаква функция Q пространствената 
променлива   u (x,y,z).   Оценявана величина може да се отнася за блок с определен размер 
или   стойността   на   признака   в   някаква   точка,   съвпадаща   или   несъвпадаща   с   никоя   от 
точките на опробване.
          В   качеството   на   оценка   може   да   се   ползва   някаква   функция   от   съвкупността   на 
наблюдаваните стойности (uj):

q = q(uj)

Поради дискретността на системата от наблюдения, между оценявана величина Q  и нейната 
оценка q,  възниква случайно (непредсказуемо) разминаване ε=Q-q.
Дисперсията на това разминаване:

Dε = D (A;B;C;q;Q)

е функция от локалните геометрически параметри Mj на дискретната мрежа от точки (А); 
геометричните параметри на обема (V)  на пробите – геометрическата база на пробите (В) ; 
параметрите на пространствената променливост в изследваната променлива u- (С); видът на 
оценяваната величина Q и видът на приетата оценка q.
     В съответствие с изложеното по-горе Ж. Матерон е дефинирал предмета за изучаване на 
гестатистиката като изследване поведението на дисперсията, като функция на изложените 
аргументи.   Крайната   цел   Изхождайки   предимно   от   нивото   на   теоретични   знания   през 
шестдесетте   години   на   миналия   век   и   наблюденията   си   върху   поведението   на   реални 
геоложки   данни   в   находището   за   злато   Ранд,   Ж.   Матерон   предлага   две   хипотези   за 
природата   на   случайността.   Първото   обяснение   той   свежда   до   позицията   на 
ТРАНЗИТИВНИТЕ   ПРЕДСТАВИ,   а   второто   обяснение   –   до   ТЕОРИЯТА   НА 
СОБСТВЕНИТЕ СХЕМИ.на изучаването трябва да бъде:
        1. Посочване на такива оценки q, които при зададени стойности на другите аргументи 
ще миниминизират дисперсията в уравнението;

       2. Намиране на такива параметри на дискретната мрежа на опробване (и пробите които 
при зададени параметри на променливостта (С) и допустима дисперсия D и приет вид на 
оценката q,  би миниминизирало разходите за проучване на изучавания природен обект.
            Един   от   най-важните   проблеми   пред   геостатистиката   е   да   се   намери   приемливо 
обяснение за източника на случайност в зависимостта от типа   =Q-q,   в която се поражда 
разминаването. 
     При първия подход(транзитивността) източникът на случайността е причинен предимно 
от дискретността на мрежата на опробване (наблюдения), която не позволява да се състави 
пълна представа за непрекъснатата по характер пространствена променлива. Не е трудно да 
се убедим, че подобна фокусирана в едно обяснение представа, е в голяма степен адекватна с 
реалния смисъл на опробването в природните обекти и в повечето практически ситуации се 
оказва достатъчен фундамент за по- нататъшното развитие на теорията.
     При втория подход, наречен от Матерон- теория на собствените схеми, се предполага ,че 
изследваната пространствена променлива е реализация на стационарна случайна функция и 
че погрешността на проучвателните оценки могат да бъдат определени като реализации на 
случайна функция,  относно своето  математическо  очакване.  По този  начин  на обекта се 
приписва някаква свойствена само на него стохастичност.
     Първоначално, Ж. Матерон е построил  ядрото   на   геостатическата   теория   върху 
формата на най-подходящи характеристики на променливостта той е предложил аналог на 
пространството   на   най-подходящи   характеристики   на   променливостта   той   е   предложил 
аналог на пространствена корелационната функция, която той е нарекъл ВАРИОГРАМА.. 
Показаната   зависимост   е   идеализирана   ,   т.е.   не   се   базира   на   анализа   на   конкретен 
експериментален   материал.   Много   преди   това   руският   математик   Колмогоров   е   извел 
същата функция под името – СТРУКТУРНА ФУНКЦИЯ.
         Данните, с които работи геостатистиката, в повечето от случаите се характеризират с 
т.нар.   безкрайна   дисперсия   ,   която   е   резултат   от   изключителната   чувствителност     на 
методите за определяне на съдържания на химически елементи в земната кора.. Вижда се ,че 
получените   разпределения   са   силно   асиметрични   и   се   характеризират   с   ясно   изразена 
„опашка” от екстремни стойности. Тази асиметричност в разпределението може да бъде и 
още по-силно изразена. Например златото в находищата на полезни изкопаеми варива от 
няколко десетки промила до няколко пробила .които съотвествуват на   част от милион и 
част   от   милиард   ,респективно   грама   на   тон   и   милиграма   на   тон   злато.   В   момента 
съществуват   аналитични   методи,   които   позволяват   чувствителността   на   анализа   да 
достигне   до   10-13   в   сравнение   с   10-6   за   промила   и   10-9   пробила.   В   хидрогеологията   се 
извеждат в лабораторни или полеви условия коефициент на проницаемост на скалите к и се 
смята за нормално стойностите му да варират от 10-11 до 10-17.
          За   да   се   подтисне   дисперсията   при   статистическата   обработка   на   данните, 
Южноафриканският геолог Д. Криге предлага данните с висок размах на стойностите (в 
конкретния случай съдържанията за злато в находища Ранд) да се логаритмуват за нуждите 
на статическата обработка.. По-късно Сешел и Матерон  доразвиват тази идея като обявяват 
породеното   от   логаритмуването   на   данните   логномарлно   разпределение   за   отправно   в 
геостатистиката. Естествено, нуждата от тази трансформация не е задължителна за всички 
видове   данни.   Например   данните   от   стойностите   на   дебелините   на   пластове,   както   и 
съдържанията на желязо, алуминий, силиций, калций, магнезий и някои други елементи, 
които   надхвърлят   понякога   няколко   десетки   процента   не   е   задължително   да   се 
логаритмуват.   Като   обща   формулировка   в   геостатистиката   се   постулира,   че 
преобладаващата част от геоложките и природните данни се характеризират с БЕЗКРАЙНА 
ДИСПЕРСИЯ.
          Като   на   математик,   на   Ж.   Матерон   са   били   известни   неудобствата   от   работа   с 
безкрайността В създадената от него геостатистическа теория се приема, че безкрайността 
на дисперсията в природните данни съществува реално, но същевременно се постулира, че 
дисперсията на разликите между данните във всяка извадка от природни данни има крайна 
дисперсия.

     На съвременния етап от развитие се приема, че пространствената статистика е по-обща 
теория от геостатистическата теория. В теоретичен и приложен аспект пространствената 
статистика е започнала своето развитие като специален клон на статистиакта от френския 
математик Ж. Матерон , занимаваща се с обработката и интерпретацията на координирани 
данни. В момента математическата теория и създадения паралелно с нея програмен софтуер 
е основата за създаването на пространствени модели на природни обекти като находища на 
полезни изкопаеми, естествени кухини в скалите, оценка на минерални, нефтено- газови и 
водни ресурси. Също така, тази методология е намерила огромно приложение при оценката 
на замърсеността на терени при Екологичния мониторинг и опазването на околната среда.
         Преди появата на геостатистиката обработката на пространствените данни следваше 
рецептите   на   традиционната   статистика,   свързани   с   ползването   на   вече   споменатите 
статистически разпределения като „нормално”, „гама”, „логнормално” и други. Удачният 
избор на някое от тези разпределения, в контекста на приемливо за практиката адекватно 
описание   на   природния   обект,   се   нарича   избор   на   вероятностен     модел   за   описание   на 
данните.
          Паралелно   с   това   се   натрупваха   факти,   че   в   изследваните   природни   обекти   като 
находища   на   полезни   изкопаеми   се   наблюдават   едновременно   или   независимо   бедни   и 
богати участъци, т.е. наличието на множество водеше до трудно преодолими проблеми при 
извеждането на необходимите оценки със средствата на традиционната статистика. Както се 
спомена, основният феномен се свързва с въпроса –крайна или безкрайна е дисперсията в 
природните   данни.   Интуитивно   е   ясно,   че   „   крайността   на   дисперсията”   идва   от 
чувствителността на апаратурата, с която се измерват, например съдържанията на метали в 
находищата   на   полезни   изкопаеми.   Естествено,   няма   апаратура,   която   да   измерва 
съдържания от няколко атома до
десетки  проценти,  но впечатляват разликата при спектрален анализ на геохимични данни 
от 10-7 - 100, т.е. налице са експериментални факти за цитирания обхват на дисперсията.
         Естествено,   логаритмуването  на такъв  род   данни  потиска   максимално   дисперсията. 
Неслучайно,   бащите   на   „Геостатистиакта”   Д.   Криге   и   Ж.   Матерон   определят   централна 
роля на логнормалното разпределение при геостатистическо описание на повечето геоложки 
данни. След 1973 двама от учениците на Матерон, Ренду и Давид, въз основа на натрупан 
опит за въвеждането на „задължителното” логаритмуване на всички данни, които съдържат 
есктремни   стойност.   Паралелно   с   това   се   въвежда   и   понятието   и   формализма   на   т.нар. 
„логнормален   Крайгинг”.   Самото   название   определя   изискването   –   разпределението   на 
данните (нарастванията) да съотвествува на Логнормалния закон. Обаче в последно време 
се натрупват факти , че логнормалната хипотеза не се потвърждава, особено при голямо 
количество данни.
         През 1960г. Бенуа Манделборт     показва, че повечето от природните данни, свързани 
например  с   рудните   находища   (съдържания   на  главни   попътни   съставки)   ,   не  покриват 
тестовете   на   Колмогоров–Смирнов   за   съгласуването   с   логнормалната   хипотеза. 
Алтернативното предложение   е,  че данните  са  разпределени  по  т.нар. „Устойчив  закон”. 
Този   клас   разпределения   са   всъщност   едно   широко   обобщение   на   нормалния   закон. 
Доказана от Леви и Хинчин теорема гласи, че показателят α ,който стои в степента на u над 
експонентата на характеристичната функция и който стои в степента на u  над експонентата 
на характеристичната функция и който при нормалното разпределение е равен на 2, при α < 
2 дефинира безкрайна дисперсия. Както се спомена, практиката не може да осигури напълно 
този факт, тъй като това предполага безкрайна чувствителност и точност на измерванията.
          Устойчивите  разпределения  са  теоретично  обосновани  от  Пол   Леви  и  обобщенията, 
извършени от Хичин. До публикацията на Манделброт устойчивите разпределения не са 
имали   широко   практическо   приложение,   тъй   като   ,   с   няколко   изключения,   нямат   явни 
изрази   за   плътността   или   функцията   на   разпределение.   Едно   обобщение   на   теорията   на 
устойчивите разпределения се дава през 1983 от Золоторьов.